1. Étude de la convergence des deux séries :
    • Convergence de $ \sum u_{2n} $ :
      La série $ \sum u_n $ est à termes positifs. La suite de ses sommes partielles est donc croissante et, puisqu'elle converge, elle est majorée par sa somme totale $ S = \sum_{k=0}^{+\infty} u_k $.
      Pour tout entier $ N $, la somme partielle de la sous-série des termes d'indices pairs vérifie la majoration évidente : \[ \sum_{n=0}^{N} u_{2n} \le \sum_{k=0}^{2N} u_k \le S \]
      La série $ \sum u_{2n} $ est à termes positifs et la suite de ses sommes partielles est majorée. Par conséquent, elle converge.
    • Convergence de $ \sum \sqrt{u_n u_{2n}} $ :
      On utilise la majoration classique liant moyenne géométrique et moyenne arithmétique. Pour tout $ n \in \mathbb{N} $, on a : \[ 0 \le \sqrt{u_n u_{2n}} \le \frac{1}{2}(u_n + u_{2n}) \]
      Par hypothèse, la série $ \sum u_n $ converge. D'après le point précédent, la série $ \sum u_{2n} $ converge également.
      La série combinaison linéaire $ \sum \frac{1}{2}(u_n + u_{2n}) $ est donc convergente.
      Par le théorème de comparaison des séries à termes positifs, on en déduit que la série $ \sum \sqrt{u_n u_{2n}} $ converge.