- Convergence de la suite $ (u_n) $ par le lien suite-série :
- On étudie la nature de la série télescopique de terme général $ v_n = u_{n+1} - u_n $. La convergence de cette série équivaut à la convergence de la suite $ (u_n) $.
- On exprime la différence $ v_n $ : \[ v_n = \left(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n+1}\right) - \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n}\right) = \frac{1}{\sqrt{n+1}} - 2\sqrt{n+1} + 2\sqrt{n} \]
- On effectue un développement asymptotique en factorisant par $ \sqrt{n} $ : \[ v_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-\frac{1}{2}} - 2\sqrt{n} \left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}} - 1\right) \]
- On utilise les développements limités usuels au voisinage de 0 (avec $ x = \frac{1}{n} $) : \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \] \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2n} - \frac{1}{8n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
- En injectant ces développements dans l'expression de $ v_n $ : \[ v_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \left(1 - \frac{1}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\right) - 2\sqrt{n} \left(\frac{1}{2n} - \frac{1}{8n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \] \[ v_n = \left(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{2n\sqrt{n}} + o\left(\frac{1}{n\sqrt{n}}\right)\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{4n\sqrt{n}} + o\left(\frac{1}{n\sqrt{n}}\right)\right) \]
- AprĂšs simplification, on obtient un Ă©quivalent simple de $ v_n $ : \[ v_n = -\frac{1}{4n^{\frac{3}{2}}} + o\left(\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\right) \sim -\frac{1}{4n^{\frac{3}{2}}} \]
- On reconnaßt (au signe prÚs) le terme général d'une série de Riemann avec $ \alpha = \frac{3}{2} > 1 $. Par comparaison de séries à termes de signe constant, la série $ \sum v_n $ converge.
- Conclusion : La série des différences partielles convergeant, on en déduit que la suite $ (u_n) $ converge.