Méthode classique : Suite décroissante et minorée

• 1. Étude de la monotonie (décroissance) :
  • On étudie le signe de $ u_{n+1} - u_n $ : \[ u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n+1} - (\ln(n+1) - \ln n) = \frac{1}{n+1} - \int_{n}^{n+1} \frac{dt}{t} \]
  • Sur l'intervalle $ [n, n+1] $, la fonction $ t \longmapsto \frac{1}{t} $ est décroissante, donc pour tout $ t \in [n, n+1] $, on a $ \frac{1}{t} \le \frac{1}{n} $ mais surtout $ \frac{1}{t} \ge \frac{1}{n+1} $.
  • En intégrant cette inégalité sur un intervalle de longueur 1 : \[ \int_{n}^{n+1} \frac{dt}{t} \ge \int_{n}^{n+1} \frac{1}{n+1} dt = \frac{1}{n+1} \]
  • On en déduit immédiatement que $ \frac{1}{n+1} - \int_{n}^{n+1} \frac{dt}{t} \le 0 $, ce qui prouve que la suite $ (u_n) $ est décroissante.

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• 2. Recherche d'un minorant :
  • On utilise à nouveau la décroissance de $ t \longmapsto \frac{1}{t} $. Pour tout entier $ k \ge 1 $ et $ t \in [k, k+1] $, on a $ \frac{1}{t} \le \frac{1}{k} $.
  • En intégrant de $ k $ à $ k+1 $ : \[ \ln(k+1) - \ln k \le \frac{1}{k} \]
  • On somme ces inégalités pour $ k $ allant de $ 1 $ à $ n-1 $ : \[ \sum_{k=1}^{n-1} (\ln(k+1) - \ln k) \le \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \]
  • Le membre de gauche est une somme télescopique qui vaut $ \ln n - \ln 1 = \ln n $. On a donc : \[ \ln n \le \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \]
  • En ajoutant $ \frac{1}{n} $ des deux côtés, on obtient : \[ \ln n + \frac{1}{n} \le \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \implies \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n \ge \frac{1}{n} > 0 \]
  • La suite $ (u_n) $ est donc minorée par 0.

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• Conclusion :
  • Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente. La suite $ (u_n) $ converge.

Autre méthode: Utilisation des séries

• On étudie la nature de la série de terme général $ v_n = u_{n+1} - u_n $. Si cette série converge, alors la suite $ (u_n) $ converge (lien suite/série télescopique).
• On exprime $ v_n $ : \[ v_n = \left(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} - \ln(n+1)\right) - \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n\right) = \frac{1}{n+1} - \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \]
• On effectue les développements limités à l'ordre 2 lorsque $ n \to +\infty $ : \[ \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-1} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \] \[ \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
• Par différence, on obtient un équivalent simple de $ v_n $ : \[ v_n = -\frac{1}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \sim -\frac{1}{2n^2} \]
• On reconnaît (au signe près) le terme général d'une série de Riemann avec $ \alpha = 2 > 1 $. La série $ \sum v_n $ converge.
• Conclusion : La série des différences partielles convergeant, la suite $ (u_n) $ converge vers une limite finie (cette limite est la constante d'Euler-Mascheroni, notée $ \gamma $).