- Ătude de la convergence de la sĂ©rie de terme gĂ©nĂ©ral $ u_n = \frac{(n+1)^a - n^a}{n^b} $ :
- Si $ a = 0 $ : Le numérateur est nul ($ 1 - 1 = 0 $), donc $ u_n = 0 $ pour tout $ n \ge 1 $. La série converge trivialement.
- Si $ a \neq 0 $ : On cherche l'Ă©quivalent asymptotique en factorisant par $ n^a $ pour faire apparaĂźtre un terme tendant vers $ 0 $ : \[ (n+1)^a - n^a = n^a \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^a - 1 \right) \]
- On utilise le développement limité usuel $ (1+x)^a - 1 \sim ax $ en $ 0 $ : \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^a - 1 \sim \frac{a}{n} \]
- En remplaçant dans l'expression initiale, on obtient l'équivalent du terme général (qui est de signe constant pour $ n $ assez grand) : \[ u_n \sim \frac{n^a \cdot \frac{a}{n}}{n^b} = \frac{a n^{a-1}}{n^b} = \frac{a}{n^{b - a + 1}} \]
- Par comparaison avec une série de Riemann (la constante $ a $ n'influençant pas la nature), la série converge si et seulement si l'exposant est strictement supérieur à $ 1 $ : \[ b - a + 1 > 1 \iff b > a \]
- Conclusion : La série converge pour l'ensemble des couples $ (a, b) $ tels que $ a = 0 $ ou $ b > a $.