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Par développement asymptotique, on écrit :
\[ \ln(n+1) = \ln(n) + \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \ln(n) + \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \]
On en déduit le quotient :
\[ \frac{\ln(n+1)}{\ln n} = 1 + \frac{1}{n \ln n} + o\left(\frac{1}{n \ln n}\right) \]
En passant sous forme exponentielle $ u_n = \exp\left( n \ln\left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right) \right) $ :
\[ u_n = \exp\left[ n \ln\left(1 + \frac{1}{n \ln n} + o\left(\frac{1}{n \ln n}\right)\right) \right] \]
\[ u_n = \exp\left[ n \left( \frac{1}{n \ln n} + o\left(\frac{1}{n \ln n}\right) \right) \right] = \exp\left( \frac{1}{\ln n} + o\left(\frac{1}{\ln n}\right) \right) \]
Puisque $ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\ln n} = 0 $, on conclut par continuité de l'exponentielle en 0 :
\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 1 \]
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D'après le développement précédent, on a au voisinage de l'infini :
\[ u_n = \exp\left( \frac{1}{\ln n} + o\left(\frac{1}{\ln n}\right) \right) = 1 + \frac{1}{\ln n} + o\left(\frac{1}{\ln n}\right) \]
Le terme général de la série s'écrit donc :
\[ \frac{u_n - 1}{n} = \frac{1}{n \ln n} + o\left(\frac{1}{n \ln n}\right) \]
Ainsi, on obtient l'équivalent :
\[ \frac{u_n - 1}{n} \sim \frac{1}{n \ln n} \]
La fonction $ t \mapsto \frac{1}{t \ln t} $ est continue, positive et décroissante sur $ [2, +\infty[ $. Son intégrale diverge car :
\[ \int_2^X \frac{dt}{t \ln t} = \Big[ \ln(\ln t) \Big]_2^X \xrightarrow[X \to +\infty]{} +\infty \]
Par comparaison série-intégrale (série de Bertrand), la série $ \sum \frac{1}{n \ln n} $ diverge.
Les termes étant strictement positifs à partir d'un certain rang, on conclut par le théorème d'équivalence que la série $ \sum \frac{u_n - 1}{n} $ diverge.
Autre méthode:
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Considérons la fonction $ f : x \mapsto \ln(\ln x) $ définie et dérivable sur $ ]1, +\infty[ $. Sa dérivée est :
\[ f'(x) = \frac{1}{x \ln x} \]
On peut réécrire $ \ln(u_n) $ sous la forme :
\[ \ln(u_n) = n \big( \ln(\ln(n+1)) - \ln(\ln n) \big) = n \big( f(n+1) - f(n) \big) \]
D'après le Théorème des Accroissements Finis appliqué à $ f $ sur l'intervalle $ [n, n+1] $, il existe un réel $ \theta_n \in ]0, 1[ $ tel que :
\[ f(n+1) - f(n) = f'(n+\theta_n) = \frac{1}{(n+\theta_n)\ln(n+\theta_n)} \]
On en déduit l'expression de $ \ln(u_n) $ :
\[ \ln(u_n) = \frac{n}{(n+\theta_n)\ln(n+\theta_n)} \]
Puisque $ 0 < \theta_n < 1 $, on a $ n < n+\theta_n < n+1 $. La fonction $ x \mapsto x \ln x $ étant strictement croissante sur $ [n, n+1] $ (pour $ n \ge 2 $), on obtient l'encadrement :
\[ \frac{n}{(n+1)\ln(n+1)} < \ln(u_n) < \frac{n}{n\ln n} \]
Les deux termes extrêmes de cet encadrement tendent vers 0 lorsque $ n \to +\infty $. Par le théorème des gendarmes :
\[ \lim_{n \to +\infty} \ln(u_n) = 0 \]
Par continuité de la fonction exponentielle en 0, on conclut :
\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 1 \]
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D'après l'étude précédente via le Théorème des Accroissements Finis, on peut écrire $ u_n = \exp(X_n) $ avec :
\[ X_n = \frac{n}{(n+\theta_n)\ln(n+\theta_n)} \quad \text{et} \quad \theta_n \in ]0, 1[ \]
Puisque $ \lim_{n \to +\infty} X_n = 0 $, on utilise l'équivalent classique $ e^x - 1 \sim x $ en 0 :
\[ u_n - 1 = e^{X_n} - 1 \sim X_n \]
On en déduit l'équivalent pour le terme général de la série :
\[ \frac{u_n - 1}{n} \sim \frac{X_n}{n} = \frac{1}{(n+\theta_n)\ln(n+\theta_n)} \]
Or, comme $ \theta_n \in ]0, 1[ $, on a de manière évidente $ n+\theta_n \sim n $.
De plus, $ \ln(n+\theta_n) = \ln(n) + \ln\left(1 + \frac{\theta_n}{n}\right) \sim \ln n $.
Par produit d'équivalents, on obtient :
\[ \frac{u_n - 1}{n} \sim \frac{1}{n \ln n} \]
La fonction $ t \mapsto \frac{1}{t \ln t} $ est continue, positive et décroissante sur $ [2, +\infty[ $. Son intégrale diverge car :
\[ \int_2^X \frac{dt}{t \ln t} = \Big[ \ln(\ln t) \Big]_2^X \xrightarrow[X \to +\infty]{} +\infty \]
Par comparaison série-intégrale, la série $ \sum \frac{1}{n \ln n} $ diverge.
Les termes étant strictement positifs, on conclut par le théorème d'équivalence que la série $ \sum \frac{u_n - 1}{n} $ diverge.
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Considérons la fonction $ f : x \mapsto \ln(\ln x) $ définie et dérivable sur $ ]1, +\infty[ $. Sa dérivée est :
\[ f'(x) = \frac{1}{x \ln x} \]
On peut réécrire $ \ln(u_n) $ sous la forme :
\[ \ln(u_n) = n \big( \ln(\ln(n+1)) - \ln(\ln n) \big) = n \big( f(n+1) - f(n) \big) \]
D'après le Théorème des Accroissements Finis appliqué à $ f $ sur l'intervalle $ [n, n+1] $, il existe un réel $ \theta_n \in ]0, 1[ $ tel que : \[ f(n+1) - f(n) = f'(n+\theta_n) = \frac{1}{(n+\theta_n)\ln(n+\theta_n)} \] On en déduit l'expression de $ \ln(u_n) $ : \[ \ln(u_n) = \frac{n}{(n+\theta_n)\ln(n+\theta_n)} \]
Puisque $ 0 < \theta_n < 1 $, on a $ n < n+\theta_n < n+1 $. La fonction $ x \mapsto x \ln x $ étant strictement croissante sur $ [n, n+1] $ (pour $ n \ge 2 $), on obtient l'encadrement : \[ \frac{n}{(n+1)\ln(n+1)} < \ln(u_n) < \frac{n}{n\ln n} \]
Les deux termes extrêmes de cet encadrement tendent vers 0 lorsque $ n \to +\infty $. Par le théorème des gendarmes : \[ \lim_{n \to +\infty} \ln(u_n) = 0 \]
Par continuité de la fonction exponentielle en 0, on conclut : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 1 \]
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D'après l'étude précédente via le Théorème des Accroissements Finis, on peut écrire $ u_n = \exp(X_n) $ avec :
\[ X_n = \frac{n}{(n+\theta_n)\ln(n+\theta_n)} \quad \text{et} \quad \theta_n \in ]0, 1[ \]
Puisque $ \lim_{n \to +\infty} X_n = 0 $, on utilise l'équivalent classique $ e^x - 1 \sim x $ en 0 : \[ u_n - 1 = e^{X_n} - 1 \sim X_n \] On en déduit l'équivalent pour le terme général de la série : \[ \frac{u_n - 1}{n} \sim \frac{X_n}{n} = \frac{1}{(n+\theta_n)\ln(n+\theta_n)} \]
Or, comme $ \theta_n \in ]0, 1[ $, on a de manière évidente $ n+\theta_n \sim n $.
De plus, $ \ln(n+\theta_n) = \ln(n) + \ln\left(1 + \frac{\theta_n}{n}\right) \sim \ln n $.
Par produit d'équivalents, on obtient : \[ \frac{u_n - 1}{n} \sim \frac{1}{n \ln n} \]
La fonction $ t \mapsto \frac{1}{t \ln t} $ est continue, positive et décroissante sur $ [2, +\infty[ $. Son intégrale diverge car : \[ \int_2^X \frac{dt}{t \ln t} = \Big[ \ln(\ln t) \Big]_2^X \xrightarrow[X \to +\infty]{} +\infty \] Par comparaison série-intégrale, la série $ \sum \frac{1}{n \ln n} $ diverge.
Les termes étant strictement positifs, on conclut par le théorème d'équivalence que la série $ \sum \frac{u_n - 1}{n} $ diverge.