1. Étude de la convergence :
    Pour tout entier $ n \ge 2 $, on a $ 1 - \frac{2}{n(n+1)} < 1 $, le terme général $ u_n $ est donc de signe constant (strictement négatif).
    Quand $ n \to +\infty $, on utilise l'équivalent classique $ \ln(1+x) \sim x $ : \[ u_n \sim -\frac{2}{n(n+1)} \sim -\frac{2}{n^2} \] On reconnaßt, à une constante multiplicative prÚs, le terme général d'une série de Riemann convergente ($ \alpha = 2 > 1 $). Par comparaison de séries à termes de signe constant, la série $ \sum u_n $ converge.
  2. Calcul de la somme :
    RĂ©duisons l'argument du logarithme au mĂȘme dĂ©nominateur et factorisons le numĂ©rateur (dont 1 est racine Ă©vidente) : \[ 1 - \frac{2}{n(n+1)} = \frac{n^2+n-2}{n(n+1)} = \frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)} \] Par les propriĂ©tĂ©s du logarithme, on dĂ©veloppe l'expression : \[ u_n = \ln(n-1) + \ln(n+2) - \ln(n) - \ln(n+1) \] Regroupons les termes pour faire apparaĂźtre une diffĂ©rence symĂ©trique : \[ u_n = \big( \ln(n-1) - \ln(n) \big) - \big( \ln(n+1) - \ln(n+2) \big) \] En posant $ v_n = \ln(n-1) - \ln(n) = \ln\left(\frac{n-1}{n}\right) $, on remarque que le second bloc est exactement $ v_{n+2} $. On a donc $ u_n = v_n - v_{n+2} $.

    La somme partielle $ S_N = \sum_{n=2}^N u_n $ s'Ă©value par un tĂ©lescopage d'ordre 2 : \[ S_N = \sum_{n=2}^N (v_n - v_{n+2}) = v_2 + v_3 - v_{N+1} - v_{N+2} \] En remplaçant les termes de tĂȘte par leurs valeurs : \[ S_N = \ln\left(\frac{1}{2}\right) + \ln\left(\frac{2}{3}\right) - \ln\left(\frac{N}{N+1}\right) - \ln\left(\frac{N+1}{N+2}\right) \] Lorsque $ N \to +\infty $, les rapports $ \frac{N}{N+1} $ et $ \frac{N+1}{N+2} $ tendent vers 1, leurs logarithmes tendent donc vers 0.

    On obtient finalement la somme de la série : \[ \sum_{n=2}^{+\infty} \ln\left(1 - \frac{2}{n(n+1)}\right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right) + \ln\left(\frac{2}{3}\right) = \ln\left(\frac{1}{3}\right) = -\ln(3) \]