1. Étude de la convergence :
    Pour tout entier $ n \ge 1 $, le terme général $ u_n = \frac{1}{4n^2 - 1} $ est strictement positif.
    Quand $ n \to +\infty $, on a l'équivalent : \[ u_n \sim \frac{1}{4n^2} \] On reconnaßt, à une constante multiplicative prÚs, le terme général d'une série de Riemann convergente ($ \alpha = 2 > 1 $). Par comparaison de séries à termes positifs, la série $ \sum u_n $ converge.
  2. Calcul de la somme :
    Par décomposition en éléments simples, on obtient pour tout $ n \ge 1 $ : \[ u_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \] En posant $ v_n = \frac{1}{2n-1} $, on remarque que $ v_{n+1} = \frac{1}{2(n+1)-1} = \frac{1}{2n+1} $.
    La somme partielle $ S_N = \sum_{n=1}^N u_n $ s'écrit alors sous la forme d'une somme télescopique : \[ S_N = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N (v_n - v_{n+1}) = \frac{1}{2} (v_1 - v_{N+1}) \] En évaluant $ v_1 $ et $ v_{N+1} $ : \[ S_N = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2N+1} \right) \] On en déduit la somme de la série : \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{2} \]