-
Étude de la convergence :
on a : \[ u_n \sim \frac{1}{n^3} \] On reconnaît le terme général d'une série de Riemann $ \sum \frac{1}{n^\alpha} $ avec $ \alpha = 3 > 1 $, qui est convergente.
D'après le théorème d'équivalence pour les séries à termes positifs, la série $ \sum u_n $ converge.
-
Calcul de la somme par téléscopage :
Par décomposition en éléments simples, on a pour tout $ n \ge 1 $ : \[ u_n = \frac{1}{2n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)} \] Regroupons les termes pour faire apparaître une différence : \[ u_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) \] En posant $ v_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $, la somme partielle $ S_N = \sum_{n=1}^N u_n $ s'écrit par télescopage direct : \[ S_N = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N (v_n - v_{n+1}) = \frac{1}{2} (v_1 - v_{N+1}) \] En remplaçant $ v_1 $ et $ v_{N+1} $ par leurs expressions : \[ S_N = \frac{1}{2} \left[ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2} \right) \right] \] Lorsque $ N \to +\infty $, le terme $ \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2} $ tend vers 0.
On retrouve bien la convergence et on obtient la somme : \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{4} \]
En utilisant les nombres harmoniques:
-
Calcul de la somme :
La décomposition en éléments simples nous donne : $ 2u_n = \frac{1}{n} - \frac{2}{n+1} + \frac{1}{n+2} $.
En sommant de $ n=1 $ à $ N $ : \[ 2S_N = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} - 2\sum_{n=1}^N \frac{1}{n+1} + \sum_{n=1}^N \frac{1}{n+2} \] Faisons apparaître les nombres harmoniques $ H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $ en réindexant les sommes : \[ \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} = H_N \] \[ \sum_{n=1}^N \frac{1}{n+1} = \sum_{k=2}^{N+1} \frac{1}{k} = H_{N+1} - 1 \] \[ \sum_{n=1}^N \frac{1}{n+2} = \sum_{k=3}^{N+2} \frac{1}{k} = H_{N+2} - 1 - \frac{1}{2} = H_{N+2} - \frac{3}{2} \]
En substituant dans l'expression de $ 2S_N $ : \[ 2S_N = H_N - 2H_{N+1} + H_{N+2} + \frac{1}{2} \]
Pour passer à la limite, il suffit d'écrire $ H_{N+1} = H_N + \frac{1}{N+1} $ et $ H_{N+2} = H_{N+1} + \frac{1}{N+2} = H_N + \frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2} $. Les termes en $ H_N $ s'annulent de manière spectaculaire : \[ 2S_N = \frac{1}{2} - \frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2} \]
Lorsque $ N \to +\infty $, les termes en $ \frac{1}{N} $ tendent vers 0. On retrouve bien le résultat : \[ \lim_{N \to +\infty} 2S_N = \frac{1}{2} \implies \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{4} \]