La suite $(u_n)$ n'étant pas majorée, on peut construire une suite d'indices $(n_k)_{k \ge 1}$ strictement croissante de la manière suivante :
La suite d'indices $(n_k)$ étant strictement croissante, $(u_{n_k})$ est bien une suite extraite de $(u_n)$.
Puisque pour tout $k \ge 1$, on a $u_{n_k} \ge k$, on en déduit par minoration que : \[ \lim_{k \to +\infty} u_{n_k} = +\infty \]
Remarque : L'extractrice est construite de sorte que la suite extraite $(u_{n_k})$ tende vers $+\infty$, sans pour autant être nécessairement croissante.
- Il existe un entier $n_1$ tel que $u_{n_1} \ge 1$.
- L'ensemble des termes jusqu'au rang $n_1$ étant fini, la suite n'est pas bornée au-delà. Il existe donc un indice $n_2 > n_1$ tel que $u_{n_2} \ge 2$.
- De proche en proche, ayant construit $n_{k-1}$, il existe un indice $n_k > n_{k-1}$ tel que : \[ u_{n_k} \ge k \]
La suite d'indices $(n_k)$ étant strictement croissante, $(u_{n_k})$ est bien une suite extraite de $(u_n)$.
Puisque pour tout $k \ge 1$, on a $u_{n_k} \ge k$, on en déduit par minoration que : \[ \lim_{k \to +\infty} u_{n_k} = +\infty \]
Remarque : L'extractrice est construite de sorte que la suite extraite $(u_{n_k})$ tende vers $+\infty$, sans pour autant être nécessairement croissante.