Solution
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Notons $\ell_1$, $\ell_2$ et $\ell_3$ les limites respectives de $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{n^2})$.
Considérons la suite extraite $(u_{(2n)^2})$. Elle est extraite à la fois de $(u_{2n})$ , et de $(u_{n^2})$.
Par unicité de la limite : \[ \ell_1 = \ell_3 \]
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Considérons la suite extraite $(u_{(2n+1)^2})$.
Elle est extraite à la fois de $(u_{2n+1})$ car l'indice $(2n+1)^2 $ est impair, et de $(u_{n^2})$. On en déduit que : \[ \ell_2 = \ell_3 \] Par unicité de la limite : \[ \ell_1 = \ell_2 = \ell_3 \] Les sous-suites des termes pairs $(u_{2n})$ et impairs $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite. Par conséquent, la suite $(u_n)$ converge vers cette limite commune.