1. La suite $ (u_{14n}) $ est extraite à la fois de $ (u_{2n}) $ et $ (u_{7n}) $.

    Par unicité de la limite : \[ \ell_1 = \ell_3 \]
  2. Considérons la suite extraite $ (u_{14n+7}) $.

    Elle est extraite à la fois de $ (u_{2n+1}) $ et de $ (u_{7n}) $. On en déduit que : \[ \ell_2 = \ell_3 \] Par unicité de la limite : \[ \ell_1 = \ell_2 = \ell_3 \] Les sous-suites des termes pairs $ (u_{2n}) $ et impairs $ (u_{2n+1}) $ convergent vers la même limite. Par conséquent, la suite $ (u_n) $ converge vers cette limite commune.