1. On remarque que : \[ 3^5 = 243 = 22 \times 11 + 1 \implies 3^5 \equiv 1 \pmod{11} \] Par division euclidienne de $n$ par $5$, on écrit $n = 5q+r$ avec $0 \le r < 5$. \begin{align*} 3^n &= 3^{5q+r} \\ 3^n &= (3^5)^q \times 3^r \\ 3^n &\equiv 1^q \times 3^r \pmod{11} \\ 3^n &\equiv 3^r \pmod{11} \end{align*} En testant les valeurs possibles pour le reste $r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$, on obtient les congruences : \[ 3^0 \equiv 1, \quad 3^1 \equiv 3, \quad 3^2 \equiv 9, \quad 3^3 \equiv 5, \quad 3^4 \equiv 4 \pmod{11} \] Les restes possibles de la division de $3^n$ par $11$ appartiennent donc à l'ensemble : \[ \{1, 3, 4, 5, 9\} \]
  2. On effectue la division euclidienne de $183$ par $5$ : \begin{align*} 183 &= 5 \times 36 + 3 \\ 3^{183} &\equiv 3^3 \pmod{11} \\ 3^{183} &\equiv 27 \pmod{11} \\ 3^{183} &\equiv 5 \pmod{11} \end{align*} Le critère de divisibilité par $11$ appliqué au nombre $\overline{51x4}$ (somme alternée des chiffres) nous donne : \begin{align*} \overline{51x4} &\equiv (4+1) - (x+5) \pmod{11} \\ \overline{51x4} &\equiv 5 - x - 5 \pmod{11} \\ \overline{51x4} &\equiv -x \pmod{11} \end{align*} En remplaçant ces deux résultats dans l'équation initiale, on obtient : \begin{align*} 3^{183} + \overline{51x4} &\equiv 0 \pmod{11} \\ 5 - x &\equiv 0 \pmod{11} \\ x &\equiv 5 \pmod{11} \end{align*} Sachant que $x$ représente un chiffre en base 10 ($0 \le x \le 9$), la seule solution est : \[ x = 5 \]