Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser deux méthodes différentes :

1. Méthode 1 : Usage direct de l'arithmétique modulaire

   Dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$, calculons les cubes des différentes classes : \begin{align*} 0^3 &\equiv 0 \pmod 7 \\ 1^3 &\equiv 1 \pmod 7 \\ 2^3 &= 8 \equiv 1 \pmod 7 \\ 3^3 &= 27 \equiv -1 \pmod 7 \end{align*} Pour les entiers négatifs (ou les classes restantes), la parité de la fonction cube donne directement : \begin{align*} 4^3 &\equiv (-3)^3 \equiv 1 \pmod 7 \\ 5^3 &\equiv (-2)^3 \equiv -1 \pmod 7 \\ 6^3 &\equiv (-1)^3 \equiv -1 \pmod 7 \end{align*} On en déduit que pour tout entier $x$, on a : \[ x^3 \equiv -1, 0, \text{ ou } 1 \pmod 7 \] Supposons par l'absurde que $abc \not\equiv 0 \pmod 7$.
   Alors $a, b$ et $c$ ne sont pas congrus à $0$ modulo 7. Par conséquent, $a^3, b^3$ et $c^3$ appartiennent à l'ensemble $\{-1, 1\}$.
   La somme de trois éléments de cet ensemble ne peut prendre que les valeurs suivantes : \[ (-1-1-1)=-3, \quad (-1-1+1)=-1, \quad (-1+1+1)=1, \quad (1+1+1)=3 \] Dans tous les cas, on obtient : \[ a^3+b^3+c^3 \not\equiv 0 \pmod 7 \] C'est une contradiction avec l'hypothèse de départ !
   On en déduit donc que $abc \equiv 0 \pmod 7$.

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2. Méthode 2 : Utilisation du petit théorème de Fermat

   Supposons par l'absurde que $7$ ne divise pas le produit $abc$. Puisque $7$ est un nombre premier, cela signifie que $7$ ne divise ni $a$, ni $b$, ni $c$.
   D'après le petit théorème de Fermat, pour tout entier $x$ non divisible par $7$, on a : \[ x^6 \equiv 1 \pmod 7 \] On peut réécrire cette congruence sous la forme d'une différence de carrés : \begin{align*} (x^3)^2 - 1 &\equiv 0 \pmod 7 \\ (x^3 - 1)(x^3 + 1) &\equiv 0 \pmod 7 \end{align*} Puisque $7$ est premier, il divise nécessairement l'un des deux facteurs (lemme d'Euclide). On a donc : \[ x^3 \equiv 1 \pmod 7 \quad \text{ou} \quad x^3 \equiv -1 \pmod 7 \] On applique ce résultat à $a, b$ et $c$ : leurs cubes modulo $7$ valent forcément $1$ ou $-1$.
   La somme $a^3+b^3+c^3$ modulo 7 est donc la somme de trois termes valant chacun $\pm 1$. Comme démontré dans la première méthode, cette somme vaut nécessairement $-3, -1, 1$ ou $3$ modulo 7.
   Il est donc impossible que $a^3+b^3+c^3 \equiv 0 \pmod 7$.
   Cette contradiction prouve que l'hypothèse initiale est fausse : $7$ divise obligatoirement le produit $abc$.