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La décomposition en facteurs premiers de $56786730$ donne :
\[ 56786730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 31 \times 61 \]
Notons ces $8$ facteurs premiers par ordre croissant : $p_1, p_2, \cdots, p_8$.
On a donc : $p_1=2, p_2=3, p_3=5, p_4=7, p_5=11, p_6=13, p_7=31$ et $p_8=61$. -
Pour montrer que $N$ est divisible par $56786730$, il suffit de montrer que $N$ est divisible par chaque $p_i$ pour $i \in \{1, \cdots, 8\}$.
Soit $p_i$ l'un de ces facteurs premiers. Deux cas se présentent :- Cas 1 : Si $p_i$ divise $m$ ou $p_i$ divise $n$, alors $p_i$ divise le produit $mn$. Par conséquent, $p_i$ divise $N$.
- Cas 2 : Si $p_i$ ne divise ni $m$ ni $n$, alors (puisque $p_i$ est un nombre premier) :
\[ \begin{cases} m \land p_i = 1 \\ n \land p_i = 1 \end{cases} \]
D'après le petit théorème de Fermat, on a :
\[ \begin{cases} m^{p_i-1} \equiv 1 \pmod{p_i} \\ n^{p_i-1} \equiv 1 \pmod{p_i} \end{cases} \]
Ce qui implique :
\[ m^{p_i-1} - n^{p_i-1} \equiv 0 \pmod{p_i} \]
D'autre part, calculons les valeurs de $(p_i-1)$ pour nos $8$ nombres premiers :
\[ \{p_i-1 \mid i=1,\cdots,8\} = \{1, 2, 4, 6, 10, 12, 30, 60\} \]
On remarque que $60$ est un multiple de chacun des nombres de cet ensemble. Il existe donc un entier $q_i$ tel que $60 = q_i(p_i-1)$.
On peut alors réécrire le facteur de $N$ : \begin{align*} m^{60} - n^{60} &= m^{q_i(p_i-1)} - n^{q_i(p_i-1)} \\ &= \left(m^{p_i-1}\right)^{q_i} - \left(n^{p_i-1}\right)^{q_i} \end{align*} En passant au modulo $p_i$, on obtient : \begin{align*} m^{60} - n^{60} &\equiv 1^{q_i} - 1^{q_i} \pmod{p_i} \\ m^{60} - n^{60} &\equiv 0 \pmod{p_i} \end{align*} Donc $p_i$ divise $(m^{60}-n^{60})$, et par conséquent $p_i$ divise $N$.
Nous avons montré que, dans tous les cas, $N$ est divisible par $p_i$ pour chaque $i \in \{1, \cdots, 8\}$.
Conclusion :
Puisque les nombres premiers $p_i$ sont premiers entre eux deux à deux, si chacun d'eux divise $N$, alors leur produit divise également $N$.
On en déduit que $N$ est divisible par $56786730$.