- On part de l'équation initiale et on cherche à la factoriser : \begin{align*} 2x^2y - 122x^2 - 33y &= 2023 \\ 2x^2(y - 61) - 33y &= 2023 \\ 2x^2(y - 61) - 33(y - 61) - 33 \times 61 &= 2023 \\ 2x^2(y - 61) - 33(y - 61) &= 2023 + 2013 \\ (2x^2 - 33)(y - 61) &= 4036 \end{align*} La décomposition en facteurs donne : $4036 = 4 \times 1009$.
- Il est très utile de faire les remarques suivantes :
- L'expression $(2x^2 - 33)$ est toujours un entier impair (différence d'un nombre pair et d'un nombre impair). Par conséquent, le facteur pair $4$ divise nécessairement le second facteur $(y - 61)$.
- Le nombre $1009$ est un nombre premier.
- À partir de ces remarques, le facteur $(2x^2 - 33)$ ne peut prendre que les valeurs impaires divisant $4036$, soit $\{-1, 1, -1009, 1009\}$. Cela nous donne les quatre systèmes suivants : \[ \begin{cases} 2x^2-33 = -1009 \\ y-61 = -4 \end{cases} \qquad \text{ou} \qquad \begin{cases} 2x^2-33 = 1009 \\ y-61 = 4 \end{cases} \] \[ \text{ou} \qquad \begin{cases} 2x^2-33 = -1 \\ y-61 = -4036 \end{cases} \qquad \text{ou} \qquad \begin{cases} 2x^2-33 = 1 \\ y-61 = 4036 \end{cases} \]
- On remarque que seul le troisième cas est soluble dans $\mathbb{Z}$. En effet :
- Cas 1 : $2x^2 = -976$ (Impossible dans $\mathbb{R}$)
- Cas 2 : $2x^2 = 1042 \implies x^2 = 521$ (Pas de solution entière)
- Cas 4 : $2x^2 = 34 \implies x^2 = 17$ (Pas de solution entière)
- Cas 3 : \[ \begin{cases} 2x^2-33 = -1 \\ y-61 = -4036 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x^2 = 32 \\ y = -3975 \end{cases} \implies \begin{cases} x = \pm 4 \\ y = -3975 \end{cases} \]
- Conclusion :
L'ensemble $S$ des couples $(x,y)$ solutions est : \[ S = \{(-4, -3975); (4, -3975)\} \]