Examen National 2023 Session Normale

Soit $p$ un nombre premier impair.
On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation: \[(E) : x^2=2\pmod p\]

    1. Montrer que : $2^{p-1}=1\pmod p$
    2. En déduire que : $2^{\frac{p-1}{2}}=1\pmod p \quad \text{ou} \quad 2^{\frac{p-1}{2}}=-1\pmod p$
  2. Soit $x$ une solution de l'équation $(E)$
    1. Montrer que $p$ et $x$ sont premiers entre eux.
    2. En déduire que : $2^{\frac{p-1}{2}}=1\pmod p$ (On pourra utiliser le théorème de Fermat)
  3. Montrer que pour tout $k\in\{1,2,\cdots,p-1\} \quad p$ divise $\text{C}_p^k$
    (On rappelle que : $\forall k\in\{1,2,\cdots,p-1\} \quad \text{C}_p^k=\dfrac{p!}{k!(p-k)!}$ et que : $k\text{C}_p^k=p\text{C}_{p-1}^{k-1}$)
    1. En utilisant la formule de Moivre, montrer que : \[ (1+i)^p=2^{\frac{p}{2}}\cos\left(p\frac{\pi}{4}\right)+i2^{\frac{p}{2}}\sin\left(p\frac{\pi}{4}\right) \] ($i$ étant le nombre complexe tel que : $i^2=-1$)
    2. On admet que : $\quad (1+i)^p=\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}{(-1)^k\text{C}_p^{2k}} + i\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}{(-1)^k\text{C}_p^{2k+1}}$
      Montrer que : $2^{\frac{p}{2}}\cos\left(p\frac{\pi}{4}\right)$ et $2^{\frac{p}{2}}\cos\left(p\frac{\pi}{4}\right)=1\pmod p$
      (On pourra utiliser la question 3)
  5. En déduire que si $p\equiv 5\pmod 8$ alors l'équation $(E)$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{Z}$