Examen National 2022 Session Normale
On considère dans $\mathbb{N}^2$ l'équation $(E_n) : (x+1)^n-x^n=ny$.
Soit $(x,y)$ une solution de l'équation $(E_n)$ dans $\mathbb{N}^2$ et soit $p$ le plus petit diviseur premier de $n$.
    1. Montrer que : $(x+1)^n\equiv x^n\pmod p$
    2. Montrer que $p$ est premier avec $x$ et avec $(x+1)$
    3. En déduire que : $(x+1)^{p-1}\equiv x^{p-1}\pmod p$
  2. Montrer que si $n$ est pair alors l'équation $(E_n)$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{N}^2$
  3. On suppose que $n$ est impair.
    1. Montrer qu'il existe un couple $(u,v)$ de $\mathbb{Z}^2$ tel que : $nu+(p-1)v=1$
      (on rappelle que $p$ est le plus petit diviseur de $n$)
    2. Soient $q$ et $r$ respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de $u$ par $(p-1)$. Vérifier que : $nr=1-(p-1)(v+nq)$
    3. On pose : $v'=-(v+nq)$. Montrer que : $v'\geq 0$
    4. Montrer que $(E_n)$ n'a pas de solution dans $\mathbb{N}^2$