Examen National 2021 Session de Rattrapage
Soit $a$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et soit: \[A=1+a+a^2+\cdots+a^6\] Soit $p$ un nombre premier impair tel que : $p$ divise $A$
    1. Montrer que $a^7=1\pmod p$, en déduire que $\forall n\in\mathbb{N}\quad a^{7n}\equiv 1\pmod p$
    2. Montrer que $a$ et $p$ sont premiers entre eux, en déduire que : \[ \forall m\in\mathbb{N}\quad a^{(p-1)m}\equiv 1\pmod p \]
  2. On suppose que $7$ ne divise pas $p-1$
    1. Montrer que : $a=1\equiv 1\pmod p$
    2. En déduire que : $p=7$
  3. Montrer que si $p$ est un nombre premier impair tel que : $p$ divise $A$
    alors : $p=7$ ou $p\equiv 1\pmod p$