Soit : $a_n=(n!)^2+1$ où $n\in\mathbb{N}^* : n\geq 2$
  1. Montrer que $a_n$ est impair.
  2. Montrer que $a_n$ admet un diviseur premier $p>n$
  3. En supposant que $p=4k+3$, montrer que : $a_n$ divise $((n!)^{2(2k+1)}+1)$ et que $p$ divise le nombre $(n!)^p+n!$.
  4. En déduire que le nombre $p$ ne peut pas s'écrire sous la forme : $p=4k+3$ avec $k\in\mathbb{N}$.
  5. En déduire de ce qui précède qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $4k+1$.