Soit $p$ un nombre premier.
- Résoudre $x^2=1\pmod p$
- Montrer que $2\times 3\times \cdots \times (p-2)=1\pmod p$
- En déduire que $(p-1)!=-1\pmod p$
- Montrer que la réciproque est aussi vraie, c'est-à-dire que :
\[ (p-1)!+1=0\pmod p \implies p \text{ est premier} \]
Application :
Dans ce qui suit, on va appliquer le théorème de Wilson pour démontrer le petit théorème de Fermat.
Soit $a$ un entier non nul tel que : $a\land p=1$ et soit :
\[ \begin{align*} f: &\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \\ &k \longmapsto k\overline{a} \end{align*} \]
- Montrer que $f$ est bijective.
- En déduire que :
\[ \overline{a}\times (2\overline{a})\cdots\times ((p-1)\overline{a})=(p-1)! \]
- En déduire que :
\[ a^{p-1}=1\pmod p \]