Soit $(p,n)\in\mathbb{N}^2$ où $p$ est un nombre premier et tels que $~n>p$.
On désigne par $\lfloor x\rfloor$ la partie entière du nombre réel $x$.
Le but du problème est de calculer la plus grande puissance de $p$ qui divise $n!$.
  1. Première Partie :
    1. Montrer que le nombre d'entiers inférieurs ou égaux à $n$ et qui sont multiples de $p$ est égal à : $\left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor$
    2. Montrer que le nombre d'entiers inférieurs ou égaux à $n$ et qui sont multiples de $p^k$ est égal à : $\left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor$
    3. En déduire la plus grande puissance de $p$ divisant $n!$
  2. Deuxième Partie :
    1. Déterminer la plus grande puissance de $2$ divisant $2023!$.
    2. Même question avec $p=5$ au lieu de $2$
    3. Par combien de zéros se termine la représentation en système décimal du nombre $2023!$