On considère dans $\mathbb{N}^2$ l'équation suivante : \[ (E):\quad x^2(x^2+7)=y(2x+y) \] On se propose de résoudre cette équation de deux manières différentes.

1. Première méthode :

   1. Montrer que l'équation précédente est équivalente à : \[ (x^2+4)^2=(x+y)^2+16 \]
   2. En déduire toutes les solutions de l'équation $(E)$

2. Deuxième méthode :

   Pour cela posons : \[ \begin{cases} x=da \\ y=db \end{cases} \quad \text{où} \quad \begin{cases} x\land y=d\\ a\land b=1 \end{cases} \]
   1. Montrer que l'équation $(E)$ peut s'écrire : \[ a^2(a^2d^2+7)=b(2a+b) \]
   2. Montrer que $a=1$
   3. En déduire que $(b+1)^2=d^2+8$
   4. Résoudre l'équation $(E)$