- Rappelons le critère de divisibilité par $4$ pour un entier écrit en base décimale : un entier naturel est congru modulo $4$ au nombre formé par ses deux derniers chiffres.
- Soit $N$ un terme de la suite $11~;~111~;~1111~;\cdots$ s'écrivant avec au moins deux chiffres. En notant $N = (a_n a_{n-1} \cdots a_1 a_0)_{10}$, on a : \[ N \equiv (a_1 a_0)_{10} \pmod{4} \]
- Pour tous les termes de cette suite, les deux derniers chiffres sont systématiquement $11$. En appliquant le critère, on obtient : \[ N \equiv 11 \pmod{4} \]
- Or, la division euclidienne de $11$ par $4$ nous donne $11 = 4 \times 2 + 3$, ce qui implique : \[ N \equiv 3 \pmod{4} \]
- Comme établi dans l'étude des restes quadratiques, le carré d'un entier naturel est toujours congru à $0$ ou à $1$ modulo $4$.
Autrement dit por tout entier $x$ dans $\Bbb Z$ on a: \[x^2=0,1\mod 4 \] - Puisque tout entier de la suite étudiée est congru à $3$ modulo $4$, on conclut qu'il n'existe aucun carré parfait parmi ces nombres.