Examen National Session de Rattrapage 2023 (Maroc):

Les parties I et II peuvent être traitées indépendamment.

Partie I

On considère dans $\mathbb{R}_{+}^2$ le système $(S)$ suivant : \[ \begin{cases} \sqrt{x}\left(1+\frac{1}{x+y}\right)=\frac{12}{5}\\\sqrt{y}\left(1-\frac{1}{x+y}\right)=\frac{4}{5} \end{cases} \]

1. Soit $(x,y)\in\mathbb{R}_+^2$ une solution de $(S)$. On pose $z=\sqrt{x}+i\sqrt{y}$
   1. Montrer que : $z+\frac{1}{z}=\frac{12}{5}+\frac{4}{5}i$
   2. Montrer que : $z^2-(\frac{12}{5}+i\frac{4}{5})z+1=0$. En déduire les valeurs possibles de $z$.
      (On pourra remarquer que : $\frac{28}{25}+\frac{96}{25}i=\left(\frac{2}{5}(4+3i)\right)^2$)
   3. En déduire les valeurs du couple $(x,y)$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}_+^2$ le système $(S)$.

Partie II

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$
Soit $(U)$ le cercle de centre $O$ et de rayon 1 et $A(a), B(b) \text{ et } C(c)$ trois points du cercle $(U)$ deux à deux distincts.

1. Montrer que : $(\forall z\in\mathbb{C});\quad |z|=1\Longleftrightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}$
2. 1. La droite passant par $A$ et parallèle à $(BC)$ coupe le cercle $(U)$ au point $P(p)$. Montrer que : $p=\frac{bc}{a}$
   2. La droite passant par $A$ et perpendiculaire à $(BC)$ coupe le cercle $(U)$ au point $Q(q)$. Montrer que : $q=-p$
   3. La droite passant par $C$ et parallèle à $(AB)$ coupe le cercle $(U)$ au point $R(r)$.
      Montrer que les deux droites $(PR)$ et $(OB)$ sont perpendiculaires.