Examen National Session Normale 2023 (Maroc):

On considère le nombre complexe $u=1+(2-\sqrt{3})i$

1. 1. Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes : $1-i$ et $1+\sqrt{3}i$
   2. Montrer que : $\frac{(1-i)(1+\sqrt{3}i)}{2\sqrt{2}}=e^{i\frac{\pi}{12}}$
   3. En déduire que : $\tan(\frac{\pi}{12})=2-\sqrt{3}$
   4. Montrer que : $u=(\sqrt{6}-\sqrt{2})e^{i\frac{\pi}{12}}$
2. On considère les deux suites numériques $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies par : \[ x_0=1~,~ y_0=1\quad\text{ et }\quad (\forall n\in\mathbb{N})~;\quad\begin{cases} x_{n+1}=x_n-(2-\sqrt{3})y_n\\y_{n+1}=(2-\sqrt{3})x_n+y_n \end{cases} \]
3. Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $x_n+iy_n=u^n$
4. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $x_n=\frac{\cos(\frac{n\pi}{12})}{\cos^n(\frac{\pi}{12})}$ et $y_n=\frac{\sin(\frac{n\pi}{12})}{\cos^n(\frac{\pi}{12})}$
5. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$
   Pour tout entier naturel $n$ on note $A_n$ le point d'affixe $u^n$.
   1. Déterminer les entiers $n$ pour lesquels les points $O, A_0 \text{ et } A_n$ sont alignés.
   2. Montrer que pour tout entier $n$, le triangle $OA_n A_{n+1}$ est rectangle en $A_n$