Examen National Session Normale 2022 (Maroc):

Soit $m$ un nombre complexe non nul donné et $j=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=e^{i\frac{2\pi}{3}}$

1. On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ \[ (E_m):\quad z^2+mj^2z+m^2j \]
   1. Vérifier que : $j^3=1$ et $1+j+j^2=0$
   2. 1. Montrer que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta=[m(1-j)]^2$
      2. Déterminer $z_1$ et $z_2$ les solutions de l'équation $(E_m)$
   3. Dans cette question, on suppose que : $m=1+i$
      Montrer que $(z_1+z_2)^{2022}$ est un imaginaire pur.
2. Le plan complexe est muni d'un repère $(O,\vec{u},\vec{v})$.
   Soit $\varphi$ la transformation du plan complexe qui a tout point complexe $M(z)$ fait correspondre le point $M'(z')$ tel que : $z'=(1+j)z$.
   1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'application.
   2. On considère les points $A, B$ et $C$ d'affixes respectives $m, mj$ et $mj^2$
      et on note $A'(a'), B'(b')$ et $C'(c')$ les images des points $A, B$ et $C$ par l'application $\varphi$ et soient $P(p), Q(q)$ et $R(r)$ les milieux respectifs des segments $[BA'], [CB']$ et $[AC']$
      1. Montrer que : $a'=-mj^2$, $b'=-m$ et $c'=-mj$
      2. Montrer que : $p+qj+rj^2=0$
      3. En déduire que le triangle $PQR$ est équilatéral