Examen National Session Normale 2021 (Maroc)

Soient $a, b$ et $c$ trois nombres complexes non nuls tels que : $a+b\neq c$

1. 1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ d'inconnue $z$ \[ (E):\quad z^2-(a+b+c)z+(a+b)c=0 \]
   2. On suppose dans cette question que : $a=i,\quad b=e^{i\frac{\pi}{3}},\quad \text{et}\quad c=a-b$.
      Ecrire les deux solutions de l'équation $(E)$ sous forme exponentielle.
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
   On considère les trois points $A(a), B(b) \text{ et } C(c)$ qu'on suppose non alignés.
   Soit $P(p)$ le centre de la rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ qui transforme le point $B$ en $A$.
   et $Q(q)$ le centre de la rotation d'angle $-\frac{\pi}{2}$ qui transforme $C$ en $A$
   et soit $D(d)$ le milieu du segment $[BC]$
   1. Montrer que : \[ 2p=(a+b)+(a-b)i\quad \text{et}\quad 2q=(c+a)+(c-a)i \]
   2. Calculer $\frac{p-d}{q-d}$
   3. En déduire la nature du triangle $PDQ$
   4. Soient $E$ le symétrique de $B$ par rapport à $P$ et $F$ le symétrique de $C$ par rapport à $Q$ et $K$ le milieu du segment $[EF]$
   5. Montrer que l’affixe de $K$ est $k=a+\frac{i}{2}(c-b)$
   6. Montrer que les points $K, P, Q$ et $D$ sont cocycliques.