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Soit $ E $ un $ \mathbb{R} $-espace vectoriel. Soient $ A, B $ et $ C $ trois sous-espaces vectoriels de $ E $ vérifiant :
\[ A \cap C \subset B \qquad C \subset A+B \qquad \text{et} \qquad B \subset C \]
Montrer que $ B = C $.
DĂ©monstration :
- On sait par hypothÚse que $ B \subset C $. Il suffit donc de démontrer l'inclusion réciproque $ C \subset B $.
- Soit $ x \in C $. L'hypothĂšse $ C \subset A+B $ garantit l'existence de vecteurs $ a \in A $ et $ b \in B $ tels que $ x = a+b $.
- Comme $ B \subset C $ et $ b \in B $, on en déduit que $ b \in C $.
- Puisque $ x \in C $ et $ b \in C $, la stabilité du sous-espace vectoriel $ C $ implique que leur différence appartient à $ C $. Ainsi, $ x - b \in C $, ce qui donne $ a \in C $.
- Le vecteur $ a $ appartient donc à $ A $ (par définition) et à $ C $. Par conséquent, $ a \in A \cap C $.
- L'hypothĂšse $ A \cap C \subset B $ permet de conclure que $ a \in B $.
- Finalement, comme $ a \in B $ et $ b \in B $, la stabilité du sous-espace vectoriel $ B $ implique que la somme $ x = a+b $ appartient à $ B $.
- On a ainsi montré que tout élément de $ C $ appartient à $ B $, soit $ C \subset B $.
Conclusion : par double inclusion, $ B = C $.