1. Soit $Y$ la variable aléatoire désignant le nombre d'apparitions de « Pile » lors des 10 lancers.
    $Y$ prend ses valeurs dans l'ensemble $\{0, 1, 2, \dots, 10\}$. Puisque $X = \frac{Y}{10}$, l'ensemble des valeurs possibles de $X$ est : \[ X(\Omega) = \left\{ 0, \frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{3}{10}, \frac{4}{10}, \frac{5}{10}, \frac{6}{10}, \frac{7}{10}, \frac{8}{10}, \frac{9}{10}, 1 \right\} \]
  2. Les lancers sont indépendants et la pièce est non truquée, donc la probabilité d'obtenir « Pile » à chaque lancer est $p = \frac{1}{2}$.
    La variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\frac{1}{2}$.
    L'événement $\left(X = \frac{1}{2}\right)$ correspond à $(Y = 5)$. \begin{align*} p\left(X = \frac{1}{2}\right) &= p(Y = 5) \\ &= C_{10}^5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(1 - \frac{1}{2}\right)^5 \\ &= 252 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \\ &= \frac{252}{2^{10}} \\ &= \frac{63 \times 2^2}{2^{10}} \end{align*} Soit : \[ p\left(X = \frac{1}{2}\right) = \frac{63}{2^8} \]
  3. L'événement $\left(X \geq \frac{9}{10}\right)$ correspond à $(Y \geq 9)$, c'est-à-dire $(Y = 9)$ ou $(Y = 10)$. \begin{align*} p\left(X \geq \frac{9}{10}\right) &= p(Y = 9) + p(Y = 10) \\ &= C_{10}^9 \left(\frac{1}{2}\right)^9 \left(\frac{1}{2}\right)^1 + C_{10}^{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \left(\frac{1}{2}\right)^0 \\ &= 10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10} + 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \\ &= \frac{10}{2^{10}} + \frac{1}{2^{10}} \end{align*} Ce qui implique : \[ p\left(X \geq \frac{9}{10}\right) = \frac{11}{2^{10}} \]