1. Les tirages s'effectuent avec remise, ils sont donc indépendants. L'urne contient $2n$ boules dont $n$ blanches et $n$ noires. La probabilité de tirer une boule blanche est $p(B) = \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$ et celle de tirer une boule noire est $p(N) = \frac{1}{2}$.
      Gagner 20 points correspond à l'événement : « tirer deux boules blanches ». \begin{align*} p(\text{Gagner } 20 \text{ points}) &= p(B) \times p(B) \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \end{align*} Soit : \[ p(\text{Gagner } 20 \text{ points}) = \frac{1}{4} \]
    2. Perdre 20 points correspond à l'événement : « tirer deux boules noires ». \begin{align*} p(\text{Perdre } 20 \text{ points}) &= p(N) \times p(N) \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \end{align*} Soit : \[ p(\text{Perdre } 20 \text{ points}) = \frac{1}{4} \]
    3. Un gain nul correspond à l'événement : « tirer deux boules de couleurs différentes » (une blanche puis une noire, ou une noire puis une blanche). \begin{align*} p(\text{Gain nul}) &= p(B) \times p(N) + p(N) \times p(B) \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \end{align*} Ce qui implique : \[ p(\text{Gain nul}) = \frac{1}{2} \]
    1. La variable aléatoire $X$ prend les valeurs de l'ensemble $X(\Omega) = \{-20, 0, 20\}$. D'aprÚs les questions précédentes, la loi de probabilité de $X$ est donnée par :
      • $p(X = -20) = \frac{1}{4}$
      • $p(X = 0) = \frac{1}{2}$
      • $p(X = 20) = \frac{1}{4}$
    2. L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est : \begin{align*} E(X) &= -20 \times p(X=-20) + 0 \times p(X=0) + 20 \times p(X=20) \\ &= -20 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{2} + 20 \times \frac{1}{4} \\ &= -5 + 0 + 5 \end{align*} Soit : \[ E(X) = 0 \]