Pour résoudre ce problème, il faut traduire le montage électrique en opérations sur les évènements.
On note :
- $S_i$ l'évènement : « le switch $i$ est fermé ».
- Par hypothèse : pour tout $i \in \{1, 2, 3, 4\}$, $P(S_i) = p$.
- Ces évènements sont mutuellement indépendants.
Le courant passe si la branche supérieure ($S_1S_2$) ou la branche inférieure ($S_3S_4$) est fermée. La probabilité recherchée est donnée par :
\[ P(S_1S_2 \cup S_3S_4) = P(S_1S_2) + P(S_3S_4) - P(S_1S_2S_3S_4) \]Par indépendance des évènements, on remplace par les probabilités individuelles :
\begin{align*} P(S_1S_2 \cup S_3S_4) &= (p \times p) + (p \times p) - (p \times p \times p \times p)\\ P(S_1S_2 \cup S_3S_4) &= p^2 + p^2 - p^4\\ P(S_1S_2 \cup S_3S_4) &= 2p^2 - p^4 \end{align*}