Cet exercice se résout de manière particulièrement élégante et rapide en utilisant exclusivement les propriétés des évènements contraires, ce qui permet de s'épargner le calcul direct de $p(A)$ et $p(B)$.

  1. Indépendance des évènements $A$ et $B$

    Deux évènements sont indépendants si et seulement si leurs évènements contraires $\overline{A}$ et $\overline{B}$ le sont. Déterminons $p(\overline{B})$ en utilisant la formule de l'union sur les évènements contraires.

      1. Traduction des données (Lois de De Morgan) :

        L'évènement contraire de l'union est l'intersection des contraires :

        \[p(\overline{A\cup B}) = p(\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{1}{6}\]

        L'évènement contraire de l'intersection est l'union des contraires :

        \[p(\overline{A\cap B}) = p(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 - p(A \cap B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\]

      2. Calcul de $p(\overline{B})$ :

        On applique la formule de la probabilité d'une union aux évènements $\overline{A}$ et $\overline{B}$ :

        \[p(\overline{A} \cup \overline{B}) = p(\overline{A}) + p(\overline{B}) - p(\overline{A} \cap \overline{B})\]

        En remplaçant par les valeurs déduites précédemment :

        \[\frac{3}{4} = \frac{1}{4} + p(\overline{B}) - \frac{1}{6}\]

        On isole $p(\overline{B})$ :

        \[p(\overline{B}) =\frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\]

      3. Conclusion sur l'indépendance :

        Vérifions la relation d'indépendance pour les évènements contraires :

        \[p(\overline{A}) \times p(\overline{B}) = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\]

        On constate que $p(\overline{A} \cap \overline{B}) = p(\overline{A}) \times p(\overline{B})$. Les évènements $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants, donc $A$ et $B$ sont également indépendants.


  2. Équiprobabilité des évènements $A$ et $B$

    Dans la même logique, on montre sans peine que deux évènements sont équiprobables si et seulement si leurs évènements contraires le sont :

    \[ p(A) = p(B) \iff 1 - p(A) = 1 - p(B) \iff p(\overline{A}) = p(\overline{B}) \]

    Or, d'après l'énoncé et nos calculs précédents :

    • $p(\overline{A}) = \frac{1}{4}$
    • $p(\overline{B}) = \frac{2}{3}$

    Puisque $p(\overline{A}) \neq p(\overline{B})$, on en déduit immédiatement que les évènements $A$ et $B$ ne sont pas équiprobables.