Ce problème se résout de manière très élégante en combinant les probabilités avec l'arithmétique modulaire (congruences et Petit Théorème de Fermat). Cette approche permet de réduire considérablement l'univers des possibles.
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Simplification modulo 5 et Petit Théorème de Fermat
On cherche la probabilité que $7^m + 7^n$ soit divisible par $5$. Puisque $7 \equiv 2 \pmod 5$, on a :
\[ 7^m + 7^n \equiv 2^m + 2^n \pmod 5 \]De plus, $\text{pgcd}(2,5)=1$ et $5$ est un nombre premier. Le Petit Théorème de Fermat garantit que $2^4 \equiv 1 \pmod 5$. La suite des puissances de $2$ modulo $5$ est donc périodique de période $4$.
Il suffit par conséquent de raisonner sur les restes de la division euclidienne de $m$ et $n$ par $4$, c'est-à-dire de travailler dans l'ensemble des classes d'équivalence modulo $4$ : $\{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}\}$.
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Réduction de l'univers $\Omega$
Les entiers $m$ et $n$ sont choisis au hasard entre $1$ et $100$. Puisque $100$ est un multiple de $4$ ($100 = 25 \times 4$), chaque classe d'équivalence modulo $4$ contient exactement $25$ éléments. Le tirage est donc parfaitement équiréparti.
On peut définir un nouvel univers réduit $\Omega'$ constitué uniquement des couples de classes d'équivalence :
\[ \Omega' = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}\} \times \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}\} \]Ce nouvel univers contient $4 \times 4 = 16$ issues possibles. Grâce à l'équirépartition, ces $16$ issues sont strictement équiprobables. La probabilité de chaque issue élémentaire de $\Omega'$ est donc de $\frac{1}{16}$.
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Identification des cas favorables
Évaluons les valeurs de $2^r \pmod 5$ pour les $4$ classes :
- Pour $\bar{0} \implies 2^0 = 1$
- Pour $\bar{1} \implies 2^1 = 2$
- Pour $\bar{2} \implies 2^2 = 4$
- Pour $\bar{3} \implies 2^3 = 8 \equiv 3 \pmod 5$
Pour que la somme $2^m + 2^n$ soit congrue à $0$ modulo $5$, les seules associations de classes possibles sont celles dont la somme des restes fait $5$ (c'est-à-dire $1+4$ ou $2+3$).
L'ensemble des cas favorables est constitué des $4$ couples de classes suivants :
\[ \{(\bar{0}, \bar{2}), (\bar{2}, \bar{0}), (\bar{1}, \bar{3}), (\bar{3}, \bar{1})\} \] -
Calcul final de la probabilité
Nous avons exactement $4$ cas favorables parmi les $16$ cas possibles de notre univers réduit équiprobable. La probabilité $P$ cherchée est donc :
\[ P = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \]