Le diamètre $D$ est un nombre aléatoire compris entre $4,1$ et $4,3$. On peut modéliser cette situation par une variable aléatoire $D$ suivant la loi uniforme sur l'intervalle $[4,1 ; 4,3]$.
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Expression de l'aire en fonction du diamètre
L'aire $A$ d'un disque de diamètre $D$ (et donc de rayon $R = \frac{D}{2}$) est donnée par la formule :
\[ A = \pi \times R^2 = \pi \times \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi \times D^2}{4} \] -
Traduction de la condition sur l'aire
On cherche la probabilité de l'évènement : « l'aire est au moins égale à $4,41\pi$ », c'est-à-dire $P(A \ge 4,41\pi)$.
Exprimons cette condition en fonction de notre variable aléatoire $D$ :
\[ \frac{\pi \times D^2}{4} \ge 4,41\pi \]En simplifiant par $\pi$ (qui est strictement positif) et en multipliant les deux membres par $4$ :
\[ D^2 \ge 4 \times 4,41 \] \[ D^2 \ge 17,64 \]Comme le diamètre $D$ représente une longueur, il est strictement positif. On peut donc prendre la racine carrée en conservant le sens de l'inégalité :
\[ D \ge \sqrt{17,64} \] \[ D \ge 4,2 \]L'évènement $(A \ge 4,41\pi)$ est donc parfaitement équivalent à l'évènement $(D \ge 4,2)$.
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Calcul de la probabilité avec la loi uniforme
Il ne reste plus qu'à calculer $P(D \ge 4,2)$ sachant que $D$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $[4,1 ; 4,3]$.
On rappelle que pour une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur un intervalle $[a ; b]$, la probabilité d'appartenir à un sous-intervalle $[c ; d]$ est donnée par $\frac{d - c}{b - a}$.
Ici, puisque le diamètre maximal est $4,3$, l'évènement $(D \ge 4,2)$ correspond à l'intervalle $[4,2 ; 4,3]$ :
\[ P(D \ge 4,2) = P(4,2 \le D \le 4,3) = \frac{4,3 - 4,2}{4,3 - 4,1} \] \[ P(D \ge 4,2) = \frac{0,1}{0,2} = \frac{1}{2} \]La probabilité que l'aire du disque soit au moins égale à $4,41\pi$ est donc de $0,5$ (soit $50\%$).