L'expérience consiste à lancer une pièce de monnaie équilibrée $2$ fois de suite. L'univers des possibles est :
\[\Omega = \{(P,P), (P,F), (F,P), (F,F)\}\]
Où $P$ désigne Pile et $F$ désigne Face.
Les lancers étant indépendants, nous sommes en situation d'équiprobabilité et chaque issue élémentaire a une probabilité de $\frac{1}{4}$.
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Loi de probabilité de $X$
La variable aléatoire $X$ compte le nombre de "Face" obtenues. Elle peut prendre les valeurs $x_i \in \{0, 1, 2\}$.
- $X=0$ : On n'obtient aucune Face (donc deux Piles). L'issue favorable est $(P,P)$. \[ p(X=0) = \frac{1}{4} \]
- $X=1$ : On obtient exactement une Face. Les issues favorables sont $(P,F)$ et $(F,P)$. \[ p(X=1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
- $X=2$ : On obtient deux Faces. L'issue favorable est $(F,F)$. \[ p(X=2) = \frac{1}{4} \]
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Calcul de l'espérance mathématique $E(X)$
Par définition, l'espérance d'une variable aléatoire discrète est la somme des produits des valeurs par leurs probabilités respectives :
\[ E(X) = \sum_{i} x_i \times p(X=x_i) \]En appliquant cette formule à notre loi de probabilité :
\[ E(X) = \left(0 \times \frac{1}{4}\right) + \left(1 \times \frac{1}{2}\right) + \left(2 \times \frac{1}{4}\right) \] \[ E(X) = 0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{4} \] \[ E(X) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]En moyenne, sur un grand nombre de répétitions de ces deux lancers, on obtiendra $1$ fois "Face".
💡 Remarque : Méthode rapide via la loi binomiale
On pouvait également remarquer que cette expérience est la répétition de $2$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (le succès étant "obtenir Face", avec une probabilité $p = \frac{1}{2}$).
La variable $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}\left(2 ; \frac{1}{2}\right)$. Son espérance se calcule alors directement via la formule du cours $E(X) = n \times p$ :
\[ E(X) = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \]