Correction de l'extrait Bac 2013

1. 1. Détermination de $p_A(D)$ et $p_B(D)$

      D'après les données de l'énoncé, on extrait directement les probabilités conditionnelles liées aux défauts de soudure selon l'unité de production :

      \[ p_A(D) = 0,014 \] \[ p_B(D) = 0,024 \]
   
   

   2. Calcul de $p(A)$ et $p(B)$

      La production totale journalière est la somme des productions des deux unités : $600 + 900 = 1500$ pièces.

      Le prélèvement se faisant au hasard dans la production totale, nous sommes en situation d'équiprobabilité :

      \[ p(A) = \frac{600}{1500} = \frac{6}{15} = 0,4 \] \[ p(B) = \frac{900}{1500} = \frac{9}{15} = 0,6 \]



2. Arbre pondéré des probabilités

   On complète l'arbre en utilisant la règle des nœuds (la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut $1$) :

   • $p_A(\overline{D}) = 1 - 0,014 = 0,986$
   • $p_B(\overline{D}) = 1 - 0,024 = 0,976$



3. 1. Calcul de $p(A\cap D)$ et $p(B\cap D)$

      En utilisant la définition des probabilités conditionnelles (produit le long des branches de l'arbre) :

      \[ p(A\cap D) = p(A) \times p_A(D) = 0,4 \times 0,014 = 0,0056 \] \[ p(B\cap D) = p(B) \times p_B(D) = 0,6 \times 0,024 = 0,0144 \]
   
   

   2. Déduction de $p(D)$

      Les évènements $A$ et $B$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

      \[ p(D) = p(A\cap D) + p(B\cap D) \] \[ p(D) = 0,0056 + 0,0144 = 0,02 \]

      La probabilité globale de prélever un composant défectueux est donc de $2\%$.




4. Probabilité de provenance (Inversion du conditionnement)

   On cherche la probabilité que le composant provienne de l'unité $A$ sachant qu'il présente un défaut. Il s'agit de calculer $p_D(A)$ :

   \[ p_D(A) = \frac{p(A\cap D)}{p(D)} \] \[ p_D(A) = \frac{0,0056}{0,02} = \frac{56}{200} = 0,28 \]

   Il y a donc une probabilité de $0,28$ (soit $28\%$) que ce composant défectueux ait été produit par l'unité $A$.