Correction de l'exercice
Modélisons la situation à l'aide des évènements suivants :
- $A$ : « La personne vit jusqu'à $80$ ans ». L'énoncé nous donne $P(A) = 0,75$.
- $B$ : « La personne vit jusqu'à $90$ ans ». L'énoncé nous donne $P(B) = 0,63$.
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Analyse de l'intersection des évènements
On cherche à calculer la probabilité conditionnelle qu'une personne atteigne $90$ ans sachant qu'elle a déjà atteint $80$ ans. Cette probabilité se note $P(B|A)$ (ou $P_A(B)$).
Par définition des probabilités conditionnelles :
\[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \]Or, pour vivre jusqu'à $90$ ans, il faut logiquement et obligatoirement avoir vécu jusqu'à $80$ ans. L'évènement $B$ est donc inclus dans l'évènement $A$ ($B \subset A$).
Par conséquent, l'intersection de ces deux évènements (qui représente le fait de vivre jusqu'à $80$ ans et jusqu'à $90$ ans) correspond tout simplement à l'évènement $B$ :
\[ A \cap B = B \] -
Calcul de la probabilité conditionnelle
En remplaçant $P(A \cap B)$ par $P(B)$ dans notre formule, on obtient une relation très simple :
\[ P(B|A) = \frac{P(B)}{P(A)} \]Il ne reste plus qu'à procéder à l'application numérique :
\[ P(B|A) = \frac{0,63}{0,75} \]Pour simplifier le calcul, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $100$, puis on simplifie la fraction :
\[ P(B|A) = \frac{63}{75} = \frac{21 \times 3}{25 \times 3} = \frac{21}{25} \] \[ P(B|A) = 0,84 \]Un individu de $80$ ans a donc une probabilité de $0,84$ (soit $84\%$) d'atteindre l'âge de $90$ ans dans cette région.