L'expérience aléatoire consiste à tirer simultanément $2$ nombres parmi l'ensemble $E=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
L'ordre n'a donc pas d'importance et les tirages se font sans remise. Nous sommes dans un cas d'équiprobabilité où chaque tirage correspond à une combinaison.

1. Analyse des sous-ensembles

   L'ensemble $E$ contient $9$ éléments, que l'on peut scinder en deux sous-ensembles selon leur parité :

   • Les nombres impairs : $I=\{1, 3, 5, 7, 9\}$ ($5$ éléments).
   • Les nombres pairs : $P=\{2, 4, 6, 8\}$ ($4$ éléments).



2. Analyse de l'événement conditionnant (Somme paire)

   Soit $S$ l'événement : « La somme des deux nombres tirés est paire ».
   La somme de deux entiers est paire si et seulement s'ils ont la même parité. L'événement $S$ se réalise donc si l'on tire $2$ nombres impairs ou $2$ nombres pairs.

   Calculons le nombre de cas favorables à $S$ (principe additif) :

   • $\text{Card}(S)=C_5^2+C_4^2$
   • $\text{Card}(S)=\frac{5\times4}{2}+\frac{4\times3}{2}$
   • $\text{Card}(S)=10+6=16$
   
   

   • Calcul de la probabilité conditionnelle

     Soit $A$ l'événement : « Les deux nombres tirés sont impairs ». On cherche à calculer la probabilité $P(A|S)$.

     Puisque tirer deux nombres impairs implique nécessairement que leur somme soit paire, on a l'inclusion $A\subset S$. Par conséquent, $A\cap S=A$.

     Le nombre de cas où les deux nombres sont impairs est :

     \[\text{Card}(A\cap S)=\text{Card}(A)=C_5^2=10\]

     La probabilité conditionnelle se calcule en restreignant notre univers aux $16$ cas où la somme est paire :

     \[P(A|S)=\frac{\text{Card}(A\cap S)}{\text{Card}(S)}\] \[P(A|S)=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}\]

     La probabilité cherchée est donc de $\frac{5}{8}$.