Modélisons l'expérience aléatoire. Soient les évènements suivants :

• $B_1$ : « Choisir la boite 1 »
• $B_2$ : « Choisir la boite 2 »
• $B_3$ : « Choisir la boite 3 »
• $D$ : « L'ampoule tirée est défectueuse »
• $\overline{D}$ : « L'ampoule tirée n'est pas défectueuse »

Le choix de la boite se faisant au hasard, nous sommes en situation d'équiprobabilité : $P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = \frac{1}{3}$.

1. Diagramme en arbre des probabilités

   On construit l'arbre pondéré en reportant les probabilités conditionnelles déduites de la composition de chaque boite :



2. Probabilité de tirer une pièce défectueuse

   Les évènements $B_1$, $B_2$ et $B_3$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

   \[ P(D) = P(B_1 \cap D) + P(B_2 \cap D) + P(B_3 \cap D) \]

   1. 1. Application des probabilités conditionnelles :

         \[ P(D) = P(B_1) \times P_{B_1}(D) + P(B_2) \times P_{B_2}(D) + P(B_3) \times P_{B_3}(D) \]
      
      

      2. Remplacement par les valeurs numériques :

         \[ P(D) = \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}\right) \] \[ P(D) = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12} \] Soit: \[P(D)=\frac{13}{36} \]

   La probabilité d'obtenir une ampoule défectueuse est donc de $\frac{13}{36}$.