Correction de l'exercice
L'expérience consiste à tirer au hasard $3$ pièces parmi $15$. Le fait que l'on tire les pièces simultanément ou successivement sans remise conduit aux mêmes probabilités.
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Analyse de l'urne (la boîte)
La boîte contient au total $15$ pièces, réparties de la manière suivante :
- $5$ pièces défectueuses.
- $10$ pièces non défectueuses (les bonnes pièces).
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Calcul de la probabilité
Soit $A$ l'évènement : "Aucune des 3 pièces n'est défectueuse". Cela signifie que l'on tire uniquement des pièces parmi les $10$ bonnes.
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Méthode 1 : Par les probabilités conditionnelles (Tirages successifs)
On calcule la probabilité de tirer une bonne pièce à chaque étape, sachant que le contenu de la boîte diminue :
- Au 1er tirage : $10$ bonnes pièces sur $15$: \[p_1=\frac{10}{15}\]
- Au 2ème tirage : $9$ bonnes pièces sur $14$: \[p_2=\frac{9}{14}\]
- Au 3ème tirage : $8$ bonnes pièces sur $13$: \[p_3=\frac{8}{13}\]
D'après le principe multiplicatif :
\[ p(A) = \frac{10}{15} \times \frac{9}{14} \times \frac{8}{13} = \frac{24}{91} \] -
Méthode 2 : Par les combinaisons (Tirage simultané)
Le nombre de cas favorables correspond au choix de $3$ pièces parmi les $10$ bonnes. Le nombre de cas possibles est le choix de $3$ pièces parmi les $15$ au total.
\[ p(A) = \frac{C_{10}^3}{C_{15}^3} = \frac{\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{10 \times 9 \times 8}{15 \times 14 \times 13} \] \[ p(A) = \frac{24}{91} \]
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