Correction de l'exercice

L'expérience aléatoire consiste à jeter deux dés simultanément. L'univers $\Omega$ est l'ensemble des couples $(x,y)$ avec $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Le nombre de cas possibles est $\text{Card}(\Omega) = 36$.

1. Détermination explicite des ensembles

   L'évènement $A$ correspond aux couples dont la somme fait 6 :

   \[ A = \{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\} \]

   L'évènement $B$ correspond aux couples contenant au moins un 2 :

   \[ B = \{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)\} \]

   L'évènement $A \cap B$ correspond aux issues qui réalisent à la fois $A$ et $B$ :

   \[ A \cap B = \{(2, 4), (4, 2)\} \]



2. Déduction de $P(B|A)$

   Sachant que l'évènement $A$ est réalisé, les deux dés affichent obligatoirement l'un des éléments de $A$, à savoir :

   \[ \{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\} \]

   Parmi ces $5$ éléments possibles, il y en a exactement $2$ qui appartiennent à $B$ (ceux qui contiennent le chiffre $2$).

   On en déduit directement la probabilité :

   \[ P(B|A) = \frac{2}{5} \]



3. Calcul des probabilités dans l'univers $\Omega$

   En situation d'équiprobabilité :

   \[ p(A) = \frac{5}{36} \qquad ;\qquad p(B) = \frac{11}{36}\qquad ;\qquad p(A \cap B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \]



4. Comparaison et conclusion

   Calculons le quotient demandé :

   \[ \frac{p(A \cap B)}{p(A)} = \frac{\frac{2}{36}}{\frac{5}{36}} = \frac{2}{36} \times \frac{36}{5} = \frac{2}{5} \]

   On constate bien que $\frac{p(A \cap B)}{p(A)} = P(B|A)$.