Soit un nombre de $7$ chiffres formé exclusivement avec les éléments de l'ensemble $\{1, 2, 3\}$. Le problème consiste à trouver les combinaisons de $7$ chiffres dont la somme vaut $10$, puis à compter le nombre de permutations possibles pour chaque combinaison.

1. Recherche des combinaisons de chiffres possibles

   Puisque la somme de sept chiffres égaux à $1$ fait $7$, il nous reste un "excédent" de $3$ (car $10 - 7 = 3$) à répartir sur ces chiffres. Sachant qu'un chiffre ne peut pas dépasser $3$ (il peut donc recevoir un excédent maximum de $2$), il n'y a que deux façons de distribuer ce reste de $3$ :

   • Répartition $1 + 1 + 1$ : On ajoute $1$ à trois chiffres différents. On obtient alors trois chiffres $2$ et quatre chiffres $1$.
     (Vérification : $3 \times 2 + 4 \times 1 = 10$).
   • Répartition $2 + 1$ : On ajoute $2$ à un chiffre et $1$ à un autre. On obtient un chiffre $3$, un chiffre $2$ et cinq chiffres $1$.
     (Vérification : $3 + 2 + 5 \times 1 = 10$).



2. Dénombrement des permutations

   1. 1. Cas de l'ensemble $\{2, 2, 2, 1, 1, 1, 1\}$ :

         Le nombre de façons de former un nombre avec ces chiffres correspond au choix des $3$ positions pour les chiffres $2$ parmi les $7$ emplacements disponibles (les chiffres $1$ occuperont d'office les places restantes) :

         \[ C_7^3 = \frac{7!}{3!4!} = 35 \text{ nombres} \]
      
      

      2. Cas de l'ensemble $\{3, 2, 1, 1, 1, 1, 1\}$ :

         On choisit d'abord la position du chiffre $3$ ($7$ possibilités), puis la position du chiffre $2$ parmi les $6$ places restantes ($6$ possibilités). Les chiffres $1$ remplissent les vides :

         \[ 7 \times 6 = 42 \text{ nombres} \]



3. Bilan (Principe additif)

   Ces deux combinaisons de chiffres sont distinctes et incompatibles. On additionne les nombres de permutations :

   \[ \text{Total} = 35 + 42 = 77 \]

   Il est donc possible de former exactement $77$ nombres à $7$ chiffres vérifiant ces critères.

Autre méthode

Cette approche 'mathématise' la recherche des combinaisons via un système d'équations diophantiennes, avant d'appliquer les formules de dénombrement des permutations avec répétition.

1. Mise en équation du problème

   Soient $a$, $b$ et $c$ respectivement le nombre d'apparitions des chiffres $1$, $2$ et $3$ dans notre nombre.

   On obtient le système suivant :

   \[ \begin{cases} a + b + c = 7 & \text{(Nombre total de chiffres)} \\ a + 2b + 3c = 10 & \text{(Somme des chiffres)} \end{cases} \]

   En soustrayant la première ligne à la seconde, on obtient l'équation réduite :

   \[ b + 2c = 3 \]

   Puisque $b$ et $c$ sont des entiers naturels, il n'y a que deux solutions possibles : $(b=1, c=1)$ et $(b=3, c=0)$. En remplaçant dans la première équation, cela nous donne les deux triplets de répartition $(a,b,c)$ : $(5,1,1)$ et $(4,3,0)$.




2. Dénombrement pour le triplet $(5,1,1)$

   Ce triplet signifie que le nombre est composé de cinq chiffres $1$, un chiffre $2$ et un chiffre $3$. Le nombre d'arrangements distincts s'obtient en choisissant la place du $3$ ($7$ possibilités), puis la place du $2$ parmi les $6$ emplacements restants (les $1$ comblant les vides) :

   \[ \frac{7!}{5! \times 1! \times 1!} = 7 \times 6 = 42 \text{ nombres} \]



3. Dénombrement pour le triplet $(4,3,0)$

   Ce triplet indique que le nombre est composé de quatre chiffres $1$, trois chiffres $2$ et aucun chiffre $3$. Cela correspond au choix des $3$ places pour les chiffres $2$ parmi les $7$ positions disponibles :

   \[ \frac{7!}{4! \times 3! } = C_7^3 = 35 \text{ nombres} \]



4. Bilan (Principe additif)

   En sommant les permutations de ces deux partitions disjointes, on retrouve exactement notre résultat :

   \[ \text{Total} = 42 + 35 = 77 \text{ nombres} \]