On cherche le nombre de nombres de $4$ chiffres strictement supérieurs à $4321$, formés avec les éléments de l'ensemble $E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ (avec répétitions autorisées). On procède par disjonction des cas en examinant les chiffres de gauche à droite :

1. Le chiffre des milliers est strictement supérieur à 4

   Le seul choix possible dans $E$ est le $5$ ($1$ possibilité). Les $3$ autres chiffres sont choisis librement dans $E$ ($6$ possibilités chacun).

   \[ 1 \times 6^3 = 216 \text{ nombres} \]



2. Le chiffre des milliers est égal à 4

   Le nombre commence par $4$. On analyse ensuite le chiffre des centaines :

   1. 1. Centaines strictement supérieures à 3 :

         Le chiffre des centaines appartient à $\{4, 5\}$ ($2$ possibilités). Les $2$ derniers chiffres sont libres.

         \[ 2 \times 6^2 = 72 \text{ nombres} \]
      
      

      2. Centaines égales à 3 :

         Le nombre commence par $43$. On analyse le chiffre des dizaines :

         1. 1. Dizaines strictement supérieures à 2 :

               Le chiffre des dizaines appartient à $\{3, 4, 5\}$ ($3$ possibilités). Le dernier chiffre est libre.

               \[ 3 \times 6^1 = 18 \text{ nombres} \]
            
            

            2. Dizaines égales à 2 :

               Le nombre commence par $432$. Pour être strictement supérieur à $4321$, le chiffre des unités doit appartenir à $\{2, 3, 4, 5\}$ ($4$ possibilités).

               \[ 4 \text{ nombres} \]



3. Bilan (Principe additif)

   Ces cas étant tous incompatibles, on somme les résultats obtenus :

   \[ \text{Total} = 216 + 72 + 18 + 4 = 310 \]

   On peut donc former exactement $310$ nombres vérifiant ces conditions.

L'astuce de la base 6:Géniale

Puisque les nombres sont formés uniquement avec les $6$ chiffres $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$, on peut considérer que chaque nombre représente un entier écrit dans le système de numération en base 6.

1. Traduction du problème

   Le nombre maximum possible est $5555_6$. Le seuil strict à dépasser est $4321_6$.
   Le nombre de valeurs cherchées correspond exactement à la différence entre ces deux nombres dans la base 6.




2. Soustraction en base 6

   Puisque chaque chiffre du premier nombre est supérieur à celui du second, la soustraction s'effectue sans aucune retenue :

   \[ 5555_6 - 4321_6 = 1234_6 \]



3. Conversion en base 10 (système décimal)

   Il ne reste plus qu'à convertir cette différence pour obtenir notre nombre de possibilités en base classique :

   \[ 1234_6 = 1 \times 6^3 + 2 \times 6^2 + 3 \times 6^1 + 4 \times 6^0 \] \[ 1234_6 = 1 \times 216 + 2 \times 36 + 3 \times 6 + 4 \times 1 \] \[ 1234_6 = 216 + 72 + 18 + 4 = 310 \]

   On retrouve instantanément nos $310$ nombres ! (On remarquera d'ailleurs que les termes de cette somme correspondent exactement aux résultats de la disjonction des cas de la méthode classique).