Pour former un entier naturel strictement supérieur à $6000$ avec les chiffres de l'ensemble $E = \{3, 5, 6, 7, 8\}$ sans répétition, il faut analyser le nombre de chiffres qui le composent. Puisque l'on dispose de $5$ chiffres, ce nombre peut avoir $4$ ou $5$ chiffres.

1. Cas des nombres à 4 chiffres

   Pour qu'un nombre à $4$ chiffres soit supérieur à $6000$, son chiffre des milliers doit obligatoirement être supérieur ou égal à $6$. On construit ces nombres étape par étape :

   • Choix du chiffre des milliers : Il doit être choisi parmi $\{6, 7, 8\}$. Il y a donc $3$ possibilités.
   • Choix des autres chiffres : Une fois le chiffre des milliers fixé, il reste $4$ chiffres disponibles dans l'ensemble. Il faut en choisir $3$ pour compléter le nombre, en tenant compte de l'ordre. Cela correspond à un arrangement de $3$ éléments parmi $4$ : $A_4^3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ possibilités.

   D'après le principe multiplicatif, le nombre d'entiers à 4 chiffres supérieurs à $6000$ est :

   \[ 3 \times 24 = 72 \text{ nombres} \]



2. Cas des nombres à 5 chiffres

   Tout nombre de $5$ chiffres formé à partir de l'ensemble $E$ sera de l'ordre des dizaines de milliers (minimum $35678$), donc d'office strictement supérieur à $6000$.

   Former un tel nombre revient à placer les $5$ chiffres distincts dans $5$ positions, ce qui correspond au nombre de permutations d'un ensemble à $5$ éléments :

   \[ P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \text{ nombres} \]



3. Bilan (Principe additif)

   Les cas d'un nombre à $4$ chiffres et d'un nombre à $5$ chiffres sont incompatibles. On additionne donc les résultats trouvés :

   \[ \text{Total} = 72 + 120 = 192 \]

   On peut donc former exactement $192$ entiers naturels supérieurs à $6000$ respectant ces conditions.