1. Étude du cas $P(A\cap B)=0,1$

    On utilise la relation fondamentale des probabilités :

    \[ P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \]

    En remplaçant par les valeurs supposées :

    \[ P(A\cup B) = 0,8 + 0,4 - 0,1 = 1,1 \]

    Or, la probabilité d'un événement est toujours comprise entre $0$ et $1$. Ce résultat est donc impossible.


  2. DĂ©duction pour $P(A\cap B)=0,4$

    On remarque ici que $P(A\cap B) = P(B) = 0,4$.

    D'aprÚs la formule des probabilités totales appliquée à l'événement $B$ :

    \[ P(B) = P(B\cap A) + P(B\cap \overline{A}) \] \[ 0,4 = 0,4 + P(B\cap \overline{A}) \implies P(B\cap \overline{A}) = 0 \]

    L'événement $B\cap \overline{A}$ est de probabilité nulle (ou de mesure nulle). On en déduit que l'événement $B$ est presque sûrement inclus dans l'événement $A$.


  3. Calcul en cas d'indépendance

    Par définition, si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités :

    \[ P(A\cap B) = P(A) \times P(B) \] \[ P(A\cap B) = 0,8 \times 0,4 = 0,32 \]