Soient les ensembles $H$ (Hypertendus), $D$ (Diabétiques) et $C$ (Hypocondriaques). L'univers $\Omega$ compte $520$ patients.

Remarque : L'énoncé indique $\text{Card}(C) = 35$. Or, l'intersection des patients hypertendus et hypocondriaques contient déjà $(15 + 25) = 40$ patients. Il y a donc une incohérence mathématique. Nous allons ignorer la donnée "35 hypocondriaques" pour résoudre le problème logiquement avec les autres valeurs.

1. Diagramme de Venn

   On déduit les effectifs région par région :

   • $\text{Card}(H) = 230$. On connaît 3 des 4 sous-régions de $H$ ($140$, $15$ et $25$). La région des patients uniquement hypertendus et diabétiques vaut donc : $230 - (140 + 15 + 25) = 50$.
   • $\text{Card}(D) = 185$. Il reste deux sous-régions inconnues dans $D$, dont la somme est : $185 - (50 + 25) = 110$. Notons $w$ et $z$ ces deux régions.
   • Le nombre de patients ayant au moins une maladie est $520 - 150 = 370$.
   • L'union des trois ensembles vaut $370$. Par déduction, le nombre de patients uniquement hypocondriaques ($C$ seul) est : $370 - (230 + 110) = 30$.



2. Calcul de la probabilité

   L'événement cherché est "le patient est hypocondriaque non diabétique et non hypertendu", ce qui correspond exactement à la région des patients uniquement hypocondriaques calculée précédemment.

   \[ \text{Cas favorables} = 30 \] \[ p = \frac{30}{520} = \frac{3}{52} \]