Correction de l'exercice
Notons $M_i$ l'homme et $F_i$ la femme du couple $i$, pour $i \in \{1, \dots, 6\}$. L'ensemble des 12 personnes est $E = \{M_1, \dots, M_6, F_1, \dots, F_6\}$.
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Tirage de 2 personnes au hasard
L'univers $\Omega_1$ est l'ensemble des paires de $E$ : $\text{Card}(\Omega_1) = C_{12}^2 = 66$.
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Personnes mariées : Un cas favorable est $\{M_i, F_i\}$. Il y a $6$ couples possibles.
\[ p = \frac{6}{66} = \frac{1}{11} \] -
Un homme et une femme : Un cas favorable est $\{M_i, F_j\}$ avec $i, j \in \{1, \dots, 6\}$.
\[ \text{Cas favorables} = 6 \times 6 = 36 \] \[ p = \frac{36}{66} = \frac{6}{11} \]
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Tirage de 4 personnes au hasard
L'univers $\Omega_2$ est l'ensemble des parties à $4$ éléments de $E$ : $\text{Card}(\Omega_2) = C_{12}^4 = 495$.
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Deux couples mariés : Un cas favorable revient à choisir $2$ indices parmi $6$.
\[ \text{Cas favorables} = C_6^2 = 15 \] \[ p = \frac{15}{495} = \frac{1}{33} \] -
Exactement un couple marié : On choisit d'abord les deux personnes non mariées, puis le couple.
- Choix de la paire $\{x, y\}$ non mariée : d'après la question 1, il y a $66 - 6 = 60$ paires possibles.
- Ces deux personnes appartenant à deux couples distincts, il reste $4$ couples complets. Choix du couple : $4$ possibilités.
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Répartition en 6 groupes de 2 personnes
Le nombre de partitions de 12 personnes en 6 paires non ordonnées est :
\[ \text{Card}(\Omega_3) = \frac{12!}{(2!)^6 \times 6!} = 10395 \]-
Chaque groupe est un couple marié : La seule partition possible est $\{\{M_1, F_1\}, \dots, \{M_6, F_6\}\}$.
\[ p = \frac{1}{10395} \] -
Chaque groupe comprend un homme et une femme : Une telle partition est de la forme $\{\{M_1, F_{\sigma(1)}\}, \dots, \{M_6, F_{\sigma(6)}\}\}$ où $\sigma$ est une permutation de l'ensemble des indices $\{1, \dots, 6\}$.
\[ \text{Cas favorables} = 6! = 720 \] \[ p = \frac{720}{10395} = \frac{16}{231} \]
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