L'urne contient $8$ boules au total : $4$ boules paires et $4$ boules impaires.

La somme de deux nombres est impaire si et seulement si l'on tire exactement un nombre pair et un nombre impair.

1. Tirage simultané des deux boules

   \[ \text{Card}(\Omega) = C_8^2 = 28 \]

   Soit $A$ l'événement "La somme est impaire" (choisir 1 boule paire ET 1 boule impaire) :

   \[ \text{Card}(A) = C_4^1 \times C_4^1 = 16 \] \[ P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{16}{28} = \frac{4}{7} \]



2. Tirage successif sans remise

   Puisque l'addition est commutative, l'ordre de sortie des boules n'a aucune influence sur la parité de la somme. L'événement final ne dépend que de l'ensemble des deux boules tirées. La probabilité est donc rigoureusement identique à celle du tirage simultané :

   \[ P(B) = P(A) = \frac{4}{7} \]



3. Tirages successifs avec remise

   Ce tirage correspond à la répétition de $2$ épreuves identiques et indépendantes (schéma de Bernoulli). Considérons le succès $S$ : "Tirer une boule paire", de probabilité $p = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

   Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de boules paires tirées. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=2$ et $p=\frac{1}{2}$, notée $\mathcal{B}(2, \frac{1}{2})$.

   Soit $C$ l'événement "La somme est impaire". Il se réalise si et seulement si l'on obtient exactement un succès ($1$ paire et $1$ impaire), soit $X=1$ :

   \[ P(C) = P(X=1) = C_2^1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^1 \times \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{2-1} \] \[ P(C) = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]