Soient les événements $V_i$ : "le joueur $i$ tire une boule verte" et $R_i$ : "le joueur $i$ tire une boule rouge", avec $i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$. L'urne contient initialement 6 boules (4 rouges, 2 vertes).
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Probabilité de gain du 1er joueur ($P_1$)
\[ P_1 = P(V_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] -
Probabilité de gain du 2ème joueur ($P_2$)
Le 1er joueur tire une rouge, le 2ème tire une verte :
\[ P_2 = P(R_1 \cap V_2) = \frac{4}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15} \] -
Probabilité de gain du 3ème joueur ($P_3$)
Les deux premiers tirent une rouge, le 3ème tire une verte :
\[ P_3 = P(R_1 \cap R_2 \cap V_3) = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5} \] -
Probabilité de gain du 4ème joueur ($P_4$)
Les trois premiers tirent une rouge, le 4ème tire une verte :
\[ P_4 = P(R_1 \cap R_2 \cap R_3 \cap V_4) = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{48}{360} = \frac{2}{15} \] -
Probabilité de gain du 5ème joueur ($P_5$)
Les quatre premiers tirent une rouge, le 5ème tire une verte :
\[ P_5 = P(R_1 \cap R_2 \cap R_3 \cap R_4 \cap V_5) = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{48}{720} = \frac{1}{15} \]