Pour garantir l'équiprobabilité des résultats, il est indispensable de modéliser le lancer simultané de deux dés comme s'ils étaient discernables. L'univers $\Omega$ est donc l'ensemble des couples $(x, y)$ avec $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

1. Écriture ensembliste des événements

   L'événement $A$ correspond aux couples ayant des composantes identiques (les doubles) :

   \[ A = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\} \]
   

   L'événement $B$ regroupe les couples dont la somme des numéros est inférieure ou égale à $4$ :

   \[ B = \{(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,2)\} \]
   

   L'événement $A \cap B$ est l'intersection de $A$ et $B$, c'est-à-dire les doubles dont la somme est inférieure ou égale à $4$ :

   \[ A \cap B = \{(1,1), (2,2)\} \]
   

   L'événement $A \cup B$ est la réunion des éléments de $A$ et de $B$ (sans écrire les doublons deux fois) :

   \[ A \cup B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\} \]



2. Calcul des probabilités

   Dans cette situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement $E$ est donnée par $P(E) = \frac{\text{Card}(E)}{\text{Card}(\Omega)}$.

   • Pour l'événement $A$, on a $\text{Card}(A) = 6$ :
   \[ P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]
   • Pour l'événement $B$, on a $\text{Card}(B) = 6$ :
   \[ P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]
   • Pour l'événement $A \cap B$, on a $\text{Card}(A \cap B) = 2$ :
   \[ P(A \cap B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \]
   • Pour l'événement $A \cup B$, on a $\text{Card}(A \cup B) = 10$ :
   \[ P(A \cup B) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \]

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   Remarque : On peut vérifier la cohérence du dernier résultat à l'aide de la formule générale de la réunion :

   \begin{align*} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ P(A \cup B) &= \frac{6}{36} + \frac{6}{36} - \frac{2}{36}\\ P(A \cup B) &=\dfrac{10}{36} \end{align*} Soit: \[P(A\cup B)= \frac{5}{18} \]